MASALAH NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN YANG DIPERUMUM MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS

Aljabar maks-plus adalah semiring R dengan R = R∪{−∞} yang dilengkapi operasi ⊕ = maks dan operasi ⊗ = +. Masalah nilai eigen dituliskan sebagai A⊗x = λ⊗x dengan λ merupakan nilai eigen dan x(k) merupakan vektor eigen dari matriks A. Masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum dituliskan sebagai A ⊗ x = λB ⊗ x dengan A,B matriks nonnegatif. Selain itu, masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum pada aljabar maks-plus dapat pula dituliskan dalam bentuk A ⊗ x = λ ⊗ B ⊗ x. Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari masalah nilai eigen yang diperumum untuk matriks atas aljabar maks-plus. Hasil penelitian ini adalah nilai eigen dan vektor eigen dari masalah nilai eigen yang diperumum untuk matriks tak tereduksi dan matriks tereduksi pada aljabar maks-plus. Kata kunci: Aljabar maks-plus, nilai eigen, vektor eigen, masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum ii

Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks atas Aljabar Max-Plus Interval

Makalah ini membahas eksistensi dan ketunggalan nilai eigen dan vektor eigen matriks atas aljabar max-plus interval. Hasil pembahasan menunjukkan bahwa setiap matriks atas aljabar max-plus interval mempunyai nilai eigen, yaitu nilai eigen interval max-plus maksimum, dan vektor eigen interval max-plus yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut. Batas bawah dan batas atas nilai eigen interval max-plus maksimum tersebut berturut-turut adalah nilai eigen max-plus maksimum matriks batas bawah dan nilai eigen max-plus maximum matriks batas atas dari matriks intervalnya. Jika matriks atas aljabar max-plus interval tersebut irredusibel maka nilai eigennya tunggal. Kata-kata kunci: aljabar max-plus, interval, nilai eigen dan vektor eigen

Aplikasi Bantu untuk Menentukan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Berbasis Multimedia

Pembelajaran Aljabar Linier pada materi Nilai Eigen dan Vektor Eigen bagi sebagian mahasiswa dirasa sulit untuk dipahami. Berdasarkan data yang diperoleh dari 20 mahasiswa yang sedang dan yang pernah mengambil mata kuliah Aljabar Linier, terlihat bahwa jumlah prosentase mahasiswa yang tidak memahami materi Nilai Eigen dan Vektor Eigen lebih banyak dari pada mahasiswa yang paham akan materi Nilai Eigen dan Vektor Eigen. Prestasi belajar mahasiswa sering diindikasikan dengan permasalahan belajar dalam memahami materi. Kegiatan belajar di dalam kelas dengan lisan, tulisan bahkan slide powerpoint dapat menyebabkan pembelajaran menjadi kurang menarik dan cenderung membosankan. Jumlah mahasiswa yang membutuhkan alat bantu berupa media pembelajaran lebih banyak dari pada jumlah mahasiswa yang tidak membutuhkan. Untuk itu perlu dibangun aplikasi pembelajaran Aljabar Linier khususnya pada materi Nilai Eigen dan Vektor Eigen agar dapat digunakan mahasiswa sebagai sarana belajar dan mempermudah dosen dalam menyampaikan materi.Subjek dalam penelitian ini adalah aplikasi multimedia sebagai media pembelajaran Aljabar Linier pada materi Nilai Eigen dan Vektor Eigen. Pengumpulan data dalam penelitian ini menggunakan metode studi pustaka, metode interview dan metode kuisioner. Aplikasi disusun dengan prosedur yang mencakup indentifikasi masalah yang diperoleh, analisis kebutuhan, merancang konsep, merancang isi, design document dan diagram navigasi, merancang naskah, merancang grafis, memproduksi sistem, pengetesan sistem dengan black box dan alpha test.Hasil penelitian ini adalah aplikasi multimedia sebagai media pembelajaran Aljabar Linier pada materi Nilai Eigen dan Vektor Eigen bagi mahasiswa Program Studi Teknik Informatika di Universitas Ahmad Dahlan yang berdasarkan hasil uji coba tersebut dapat disimpulkan bahwa aplikasi pembelajaran ini dapat membantu proses pembelajaran pada mahasiswa untuk memahami materi dan dapat digunakan sebagai alat bantu dosen untuk menunjang pembelajaran Aljabar Linier

APLIKASI ALJABAR MAKS-PLUS PADA SISTEM PENJADWALAN KERETA REL LISTRIK (KRL) JABODETABEK

Ahmad Dimyathi, 2016. APLIKASI ALJABAR MAKS-PLUS PADA SISTEM PENJADWALAN KERETA REL LISTRIK (KRL) JABODETABEK. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Misalkan R merupakan himpunan bilangan real dan Rϵ = R ∪ {ϵ} dengan ϵ = − ∝. Aljabar maks-plus (Rmax) merupakan himpunan Rϵ yang dilengkapi operasi maksimum (⊕) dan jumlahan (⊗). Aljabar maks-plus dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah discrete event system (DES), salah satunya masalah penjadwalan. Tujuan dari penelitian ini adalah mengaplikasikan aljabar maks-plus pada sistem penjadwalan kereta rel listrik (KRL) JABODETABEK dengan menentukan jadwal keberangkatan kemudian melakukan simulasi keterlambatan. Jadwal diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan linier x(k + 1) = A ⊗ x(k) dengan x(k) merupakan keberangkatan ke-k dan A merupakan matriks dengan elemen berupa waktu perjalanan KRL. Selanjutnya menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A. Nilai eigen dan vektor eigen merepresentasikan periode keberangkatan KRL dan jadwal keberangkatan KRL. Simulasi keterlambatan dilakukan dengan menentukan vektor keterlambatan z(k) = x(k) − d(k). Hasil simulasi keterlambatan diperoleh pada k ≥ 3 vektor keterlambatan z(k) bernilai 0 yang menandakan tidak terjadi lagi keterlambatan keberangkatan KRL selanjutnya, dalam hal ini dikatakan penjadwalan dalam keadaan stabil. Kata kunci: aljabar maks-plus, DES, KRL, nilai eigen, vektor eigen, penjadwalan, simulasi keterlambatan, vektor keterlambatan, stabil

SPECTRUM PADA GRAF STAR (Sn) DAN GRAF BIPARTISI KOMPLIT (K(mn)) DENGAN m,n E N

Misalkan , , ..., adalah nilai – nilai eigen berbeda dari matrik adjacent graf G dan adalah banyaknya basis untuk ruang vektor eigen masing – masing , maka matrik berordo (2 x n) yang memuat , , ..., pada pada baris kedua disebut spectrum graf G baris pertama dan dan dinotasikan dengan Spec . Pada makalah ini akan dibahas spectrum graf star ( ) dan graf bipartisi komplit () dengan m,n bilangan asli. KATA KUNCI: spectrum, graf bipartisi komplit, graf star, nilai eigen, vektor eigen

IMPLEMENTASI PROGRAM SOFTWARE MATLAB DALAM MEMECAHKAN KASUS FISIKA: DINAMIKA SISTEM MASSA DAN PEGAS (PRINSIP NILAI DAN VEKTOR EIGEN)

Abstract: Matlab Software Program Implementation in Solving Physics Problem: Dynamics Mass System and Spring (Values and Eigen Vectors Principles). Matlab software was applied in resolving physics problems especially in calculation the magnitudo and eigen vector. Physics problem solved in this article was oscillator motion which consists of four mass and four springs. Target of this program application was to determine the spring deviation length, thus the magnitudo as well as the eigen vector could be obtained. The method applied in this study was using the problem magnitudo and eigen vector to calculate spring deviation in Matlab. For the case of oscillatory motion, determination of  each mass of  system and the springs constants have been specified according to the system. Equation of motion for the mass-spring system was deduced by consider each point of masses use the function  , which is called as function of anzats, then derived twice respect to time. By using Mathlab application, the result obtained indicate that by exploiting the eig (eigen) command in Mathlab program, it was showed that running of the Mathlab program would result accurately calculation for value and eigen vector.Keywords: Mathlab, dynamics, oscillator, magnitude and eigen vectorAbstrak: Implementasi Program Software Matlab dalam Memecahkan Kasus Fisika: Dinamika Sistem Massa dan Pegas (Prinsip Nilai dan Vektor Eigen). Software Matlab diaplikasikan dalam pemecahan kasus fisika menggunakan program perhitungan nilai dan vektor eigen. Kasus fisika yang dipecahkan adalah suatu benda yang bergerak secara osilator terdiri dari sistem empat massa dan empat pegas. Tujuan aplikasi program ini adalah untuk menentukan seberapa besar simpangan pegas, sehingga nilai (harga) dan vektor eigen dapat diperoleh. Metode yang dilakukan adalah memanfaatkan persoalan nilai dan vektor eigen untuk menghitung simpangan pegas dalam program Matlab. Pada kasus gerak osilator, penentuan besar masing-masing sistem massa dan konstanta pegas telah ditetapkan sesuai sistem. Persamaan gerak untuk sistem massa dan pegas masing-masing ditinjau setiap titik massa dan fungsi yang digunakan adalah , yang disebut sebagai fungsi anzats, kemudian didiferensialkan dua kali terhadap waktu. Dengan menggunakan aplikasi program Matlab maka hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa dengan memanfaatkan perintah eig (eigen) program matlab dapat menunjukkan secara perhitungan akurat hasil running (eksekusi) nilai dan vektor eigen..Kata Kunci:  Matlab, dinamika, osilator, nilai dan vektor eigen

VEKTOR EIGEN GENERALIZED MATRIKS KOMPANION

Tugas akhir ini akan membahas tentang suatu matriks kompanion dari suatu polinomial, serta mencari perhitungan matriks kompanion diantaranya yaitu: nilai eigen, vektor eigen, vektor eigen generalized, bentuk normal Jordan dan invers dari matriks kompanion itu sendiri. Berdasarkan pembahasan didapat hasil bahwasanya langkah-langkah untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen pada matriks kompanion sama halnya dengan matriks biasa. Untuk eigen vektor generalized didapat dari nilai eigen yang sama. Terakhir invers matriks kompanion langkah- langkahnya sama dengan matriks biasa. Katakunci: invers, matriks kompanion, polinomial

PEMBENTUKAN MATRIKS KANONIK JORDAN DENGAN MENGGUNAKAN VEKTOR-VEKTOR EIGEN DIPERUMUM

Kata kunci: Vektor-vektor eigen diperumum, Matriks bentuk kanonik jordan. Dalam pembahasan aljabar linear tingkat lanjut banyak dibahas tentang bentuk khusus suatu matriks salah satunya adalah bentuk Kanonik Jordan. Bentuk Kanonik Jordan adalah bentuk khusus dari suatu matriks yang dapat digunakan untuk menemukan informasi-informasi aljabar linear dari matriks asalanya dengan mudah, salah satunya mencari invers diperumum untuk matriks singular. Matriks bentuk ini dapat diperoleh melalui proses diagonalisasi matriks asalnya, tetapi tidak semua matriks dapat didiagonalisasikan sehingga tidak semua matriks dapat ditemukan bentuk Kanonik Jordannya. Dalam penulisan ini akan di bahas pembetukan matriks bentuk Kanonik Jordan menggunakan vektor-vektor eigen diperumum dan menggunakan sifat-sifat matriks Kanonik Jordan. Pembahasan ini bertujuan untuk mengetahui cara menetukan vektor-vektor eigen diperumum, sifat-sifat matriks Kanonik Jordan, dan algoritma pembentukan matriks bentuk Kanaonik Jordan dengan menggunakan vektor-vektor eigen diperumum. Dalam penelitian ini diketahui bahwa tidak semua matriks persegi dapat didiagonalisasikan, sehingga tidak semua matriks persegi dapat ditemukan bentuk Kanonik Jordannya. Oleh karena itu, dilakukan proses diagonalisasi dengan bantuan vektor-vektor eigen diperumum yang kemudian untuk membentuk matriks Kanonik Jordan. Dari hasil penelitian kali ini menunjukan bahwa vektor-vektor eigen diperumum dapat digunakan untuk menemukan vektor-vektor basis ruang eigen dimana banyaknya basis ini disamakan dengan banyaknya multilisitas aljabar nilai eigen. Dengan demikian, diagonalisasi untuk pembentukan matriks Kanonik Jordan dapat dilakukan. Kemudian, hasil analisis selanjutnya yaitu tentang sifat bentuk Kanonik Jordan. Sifat-sifat ini ternyata juga dapat digunakan untuk membentuk matriks Kanonik Jordan. Adapun hasil analisis sifat-sifat tersebut antara lain, multiplisitas aljabar nilai eigen menunjukan jumlah nilai eigen tersebut pada diagonal utama matriks Kanonik Jordan, multiplisistas geometri menunjukan jumlah blok Jordan yang terbentuk dari nilai eigen tersebut. Sedangkan ukuran dari masing-masing blok Jordan dapat diketahui mengunakan indeks nilai eigen. Bentuk Kanonik Jordan yang dihasilkan dari kedua cara ini adalah sama

PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL MENGGUNAKAN METODE PANGKAT

Matriks intervalmerupakan perluasan dari matriks real dengan entri-entrinya berupa interval.Interval yang digunakan adalah interval tertutup. Permasalahan yang seringmuncul pada suatu matriks tidak terkecuali matriks interval adalah nilai eigendan vektor eigen. Pada matriks interval permasalahan tersebut dapatdiselesaikan dengan menggunakan salah satu metode numerik yaitu metode pangkat.Metode pangkat adalah metode iterasi yang digunakan untuk menentukan nilaieigen terbesar dan vektor eigen yang bersesuaian dari suatu matriks. Penelitianini bertujuan untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriksinterval menggunakan metode pangkat dengan operasi aritmetika interval yangdimodifikasi. Operasi tersebut digunakan agar dual yang merupakan operatorpenting dalam menukar batas atas dengan batas bawah dari suatu interval dapatdigunakan dalam perhitungan. Langkah pertama dalam menentukan nilai eigen danvektor eigen matriks interval menggunakan metode pangkat adalah menentukanvektor tak nol (                          dari matriks interval . Selanjutnya menghitung  dengan  dan menentukan  yang digunakan untukmenghitung . Setelah itu menentukan kekonvergenan . Kemudian menentukan nilai eigen matriks interval menggunakanformula  dengan  dan . Setelah diperoleh nilai eigen dan vektor eigen, dilakukanpengecekan nilai eigen dan vektor eigen dengan menggunakan persamaan . Diperoleh nilai eigen dan vektor eigen matriks interval yangbersesuaian. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa metode pangkat bisadigunakan untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen pada matriks intervaldengan operasi aritmetika interval yang dimodifikasi. Kata Kunci : aritmetika interval,modifikasi aritmetika interva

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS CENTROSYMMETRIC BERORDO 3×3 BERPANGKAT BILANGAN BULAT POSITIF

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS CENTROSYMMETRIC BERORDO 3×3 BERPANGKAT BILANGAN BULAT POSITIF APRILIA KHAIRUN NISA 11750424740 Tanggal Sidang : 03 Juni 2022 Tanggal Wisuda : Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau Jl. Soebrantas No. 155 Pekanbaru ABSTRAK Penelitian ini bertujuan untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen pada matriks centrosymmetric bentuk khusus. Matriks centrosymmetric merupakan matriks yang simetri terhadap pusat susunan elemennya atau dengan kata lain sebuah matriks dikatakan centrosymmetric jika entrinya memenuhi a_ij=a_(n-i+1,n-j+1). Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh perbedaan vektor eigen pada n=1 dengan vektor eigen pada n≥2. Kata Kunci : matriks centrosymmetric, nilai eigen,vektor eigen